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00:00:01,000 --> 00:00:09,000
Dieses Video stellt eine Web-Anwendung zur Berechnung und Visualisierung von
algebraischen Arrangements vor.

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00:00:09,000 --> 00:00:15,000
Mit "algebraisch" meinen wir, dass das Arrangment durch algebraische Kurven definiert ist.

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00:00:15,000 --> 00:00:20,000
Jede solche Kurve ist durch eine Gleichung in zwei Variablen gegeben. 

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00:00:21,000 --> 00:00:27,500
Unser Programm ist online verfügbar, alle Berechnungen finden auf einem Webserver statt.

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00:00:28,500 --> 00:00:34,000
Der Benutzer braucht lediglich einen Browser mit Flash-Plug-in, es ist keine weitere Installation notwendig.

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00:00:34,500 --> 00:00:37,000
Schauen wir uns die Webseite an.

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00:00:39,500 --> 00:00:42,000
Zunächst ein Beispiel mit 4 Kurven vom Grad 4.

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00:00:42,500 --> 00:00:46,000
Mit dem Analyse-Knopf berechnen wir deren Arrangement.

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00:00:46,000 --> 00:00:48,500
Die Gesamtzahl der Komponenten wird angezeigt,

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00:00:48,500 --> 00:00:53,000
und es erscheinen weitere geometrische Eigenschaften von jeder Komponente.

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00:00:53,500 --> 00:00:56,000
Der Plot-Knopf startet die Visualisierung.

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00:00:56,000 --> 00:01:02,500
Der Ausgabegraph stellt die Eingabekurven exakt dar, und die ursprüngliche Topologie bleibt erhalten.

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00:01:02,500 --> 00:01:10,000
Das Interface ermöglicht es, in Regionen des Arrangements zu zoomen, um seine Topologie zu untersuchen.

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00:01:13,500 --> 00:01:18,000
Zur Berechnung von algebraichen Arrangements verwenden wir den Sweepline-Algorithmus von Bentley und Ottmann,

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00:01:18,000 --> 00:01:22,000
für den Fall beliebiger algebraischer Kurven.

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00:01:22,000 --> 00:01:26,500
Sämtliche geomtrischen Prädikate werden auf zwei geometrisch-topologische Analysen reduziert:

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00:01:26,500 --> 00:01:29,500
Kurvenanalyse und Kurvenpaaranalyse.

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00:01:29,500 --> 00:01:35,500
Die Kurvenanalyse berechnet geometrische Eigenschaften an den kritischen Stellen der Kurve.

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00:01:35,500 --> 00:01:41,500
Die Kurvenpaaranalyse beinhaltet die vertikale Ordnung der beiden Kurven an kritischen Stellen.

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00:01:41,500 --> 00:01:48,000
Eigenwillig, Kerber und Wolpert haben Methoden für beiden Analysearten vorgestellt.

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00:01:49,800 --> 00:01:55,000
Bei der Visualisierung wird jeder Kurvenast einzeln gezeichnet,

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00:01:48,000 --> 00:01:59,000
egal wie nahe er sich an benachbarten Ästen befindet.

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00:01:59,000 --> 00:02:04,000
Der Curve-tracking-Algorithmus beginnt mit einen Ausgangspunkt auf einem Ast

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00:02:04,000 --> 00:02:08,000
und verfolgt den Ast in beide Richtungen bis zu den Endpunkten.

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00:02:08,000 --> 00:02:12,000
Für jeden Schritt gibt es 8 mögliche Richtungen.

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00:02:12,000 --> 00:02:18,000
Mit Hilfe von Bereichsanlysen und gewissen Heuristiken läßt sich die korrekte
Richtung meist schnell bestimmen.

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00:02:18,000 --> 00:02:24,000
Falls dies nicht gelingt wird das aktuelle Pixel in 4 gleichgrosse Bereiche geteilt,

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00:02:24,000 --> 00:02:27,000
bis eine eindeutige Entscheidung möglich ist.

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00:02:29,000 --> 00:02:31,000
Zurück zur Webseite.

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00:02:31,000 --> 00:02:35,000
Das nächste Beispiel zeigt mehrere Kurven der gleichen Schar.

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00:02:35,000 --> 00:02:39,500
Durch den Graphen wird die Entwicklung der Schar sichtbar.

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00:02:39,500 --> 00:02:43,000
Wir fügen weitere Kurven hinzu, um ein hochgradig degeneriertes Arrangement zu erzeugen.

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00:02:43,000 --> 00:02:47,000
Dieses enthält tangentiale Schnittpunkte und vertikale Äste.

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00:02:47,000 --> 00:02:53,000
Anhand dieses Beispiels zeigen wir nun weitere Features unseres Webanwendung.